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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6 - Integrales

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8. Usando la regla de Barrow, calcular las siguientes integrales definidas:
f) ∫02π(t−π)cos⁡(t)dt\int_{0}^{2 \pi}(t-\pi) \cos (t) dt

Respuesta

Primero integramos la función (t−π)cos⁡(t) (t - \pi) \cos(t) .
Para integrar (t−π)cos⁡(t) (t - \pi) \cos(t) , usamos el método de integración por partes. Sea f(t)=t−π f(t) = t - \pi y g′(t)=cos⁡(t) dt g'(t) = \cos(t) \, dt .
Entonces, f′(t)=dt f'(t) = dt y g(t)=∫cos⁡(t) dt=sin⁡(t) g(t) = \int \cos(t) \, dt = \sin(t) .
La integral se transforma en:
∫(t−π)cos⁡(t) dt=(t−π)sin⁡(t)−∫sin⁡(t) dt \int (t - \pi) \cos(t) \, dt = (t - \pi) \sin(t) - \int \sin(t) \, dt
Resolvemos la integral de sin⁡(t) \sin(t) :
∫sin⁡(t) dt=−cos⁡(t) \int \sin(t) \, dt = -\cos(t)
Entonces:
∫(t−π)cos⁡(t) dt=(t−π)sin⁡(t)+cos⁡(t)+C \int (t - \pi) \cos(t) \, dt = (t - \pi) \sin(t) + \cos(t) + C
Y ahora aplicamos Barrow:
∫02π(t−π)cos⁡(t) dt=[(t−π)sin⁡(t)+cos⁡(t)]02π \int_{0}^{2 \pi} (t - \pi) \cos(t) \, dt = \left[ (t - \pi) \sin(t) + \cos(t) \right]_{0}^{2 \pi}

[(t−π)sin⁡(t)+cos⁡(t)]02π=[(2π−π)sin⁡(2π)+cos⁡(2π)]−[(0−π)sin⁡(0)+cos⁡(0)] \left[ (t - \pi) \sin(t) + \cos(t) \right]_{0}^{2 \pi} = \left[ (2 \pi - \pi) \sin(2 \pi) + \cos(2 \pi) \right] - \left[ (0 - \pi) \sin(0) + \cos(0) \right]
=[π⋅0+1]−[−π⋅0+1] = \left[ \pi \cdot 0 + 1 \right] - \left[ -\pi \cdot 0 + 1 \right]
=1−1=0 = 1 - 1 = 0
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